Modelización en Matemáticas II
Datos del Proyecto
Descripción de la Experiencia
La 6ª sesión estuvo dedicada al análisis de juegos y problemas, empezando por juegos como el 31 (del programa «Ven por más matemáticas»), utilizando el análisis de situaciones ganadoras y perdedoras, cómo determinarlas y cómo usar estrategias para el juego, a partir del conocimiento de ellas. Después analizamos otro tipo de juegos como el planteado en el problema nº 2 de la XXX Olimpiada Matemática «Thales» (titulado «¡Por una entrada de cine!») donde el análisis se realiza a partir de un diagrama en árbol para representar las sucesivas situaciones, y el del problema nº 3 de la misma Olimpiada (titulado «Cerrando puertas») donde el análisis se realiza a partir de grafos, el problema se reduce a un recorrido completo por el grafo, y estudiando el índice (grado) de cada nodo del grafo, es posible decidir cuál puede ser el inicio y cuál el final del recorrido.
Vistos esos métodos básicos de análisis de juegos y problemas, se propusieron otros problemas con los que hay que usar métodos mixtos, como en «La máquina que da cambio» (sacado de una de las sesiones de selección de alumnos de ESTALMAT), y algunos de los clásicos de transporte de cosas o personas por el río, y quedó como problema abierto de investigación el clásico: «Piensa un número (natural); si es par, divídelo por 2; si es impar, multiplícalo por 3 y súmale 1. Llegamos así a un nuevo número al que aplicamos de manera recurrente (iterante) dichas «normas». Se trata de investigar la conjetura: «siempre acabamos en la cadena 8 — 4 — 2 — 1» (o si se prefiere en el bucle 4 — 2 — 1 — 4)
En la 7ª sesión partimos inicialmente de la medida de ángulos cuando se dispone de un círculo en el plano y se pueden medir los arcos de círculo, llegando a la obtención de las fórmulas para las medidas de los ángulos inscrito, interior y exterior (que eran desconocidas para los participantes). Una demostración correcta de estas fórmulas nos permitió ahondar en el concepto de demostración. A partir de ahí, aplicamos estas fórmulas para la obtención de las medidas de los ángulos en el vértice de los polígonos regulares, analizando así la posibilidad de los embaldosados (o teselaciones) regulares del plano y de los semirregulares, e incluso de algunos irregulares como los de Penrose. Para ello fue de utilidad el libro «The Tessellations File» de Chris de Cordova (Ed. Tarquin). Se estudiaron también sobre la circunferencia dividida en n arcos iguales, los posibles polígonos estrellados y el número de ellos para cada valor de n.
La consideración de no completar los 360º en los polígonos que concurren alrededor de un vértice nos llevó a la posibilidad de «subir ese vértice al espacio» y llegar así a la construcción de poliedros, tanto regulares como arquimedianos o de cualquier otro tipo (como los deltaedros), lo que se hizo además con manipulaciones de troquelados de cartulina para construir poliedros. Analizando por otro lado la fórmula de Euler sobre caras, aristas y vértices, se llegaron a obtener conclusiones análogas o complementarias a las obtenida por el otro método teórico.
La investigación abierta final quedó en la investigación sobre los posibles deltaedros, y otra sobre el número de ángulos rectos que puede tener un polígono de n lados.
La 8ª sesión estuvo dedicada a la investigación sobre áreas de polígonos. De la misma manera que en la sesión anterior se había podido obtener fórmulas para la medida de ángulos si teníamos dibujado un círculo en el plano, empezamos viendo que se podía obtener una fórmula para áreas de polígonos si teníamos dibujada una cuadricula en el plano y los vértices del polígono estaban sobre los nodos de la cuadrícula, llegando así (tras demostrarla) a la conocida fórmula de Pick para el área de un polígono. También se obtuvieron fórmulas para el área de un triángulo en el plano, o de diversos cuadriláteros.
Después de conocer la leyenda de la reina Dido, sobre la fundación de Cartago, pasamos a investigar relaciones entre áreas y perímetros en distintos polígonos y figuras, y a obtener para un perímetro dado, la figura de mayor área, empezando por buscarla entre los polígonos, y llegando finalmente al círculo como poseedor de esa especial relación.
Pasamos después a un problema muy concreto: la investigación del cuadrilátero de máxima área posible, fijados los cuatro lados (a, b, c, d). En el caso del triángulo , habíamos visto que éste queda fijado al tener los tres lados (siempre que sea posible construirlo), y de ahí que existía una fórmula que determinaba el área (la de Herón, que encontramos tras buscarla en libros y en Internet), pero en el caso de un cuadrilátero este es flexible (como se comprobó experimentando manualmente), por lo que no es posible dar una fórmula general para el área en función de los lados. Pero tenía sentido investigar qué disposición de los ángulos permitirá el cuadrilátero de máxima área, quedando eso como investigación abierta final.
También hemos elaborado una encuesta, que pasamos a los alumnos para conocer su grado de satisfacción con el programa PROFUNDIZA, y que fue altamente satisfactorio.
Créditos: fotografía de Historias Visuales.
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