Modelización Matemática
Datos del Proyecto
Descripción de la Experiencia
Tal y como se establecía en los supuestos del proyecto presentado desde el I.E.S.» Huelín» de Málaga, se ha tratado de profundizar en aquellos aspectos de currículum con cuestiones que habitualmente no se imparten en los curso; entendida ésta como una «cuasi-modelización» matemática, mediante la descripción, uso de diversos conceptos y del lenguaje matemático a través del desarrollo de determinados modelos matemáticos no limitados al uso o creación de un modelo más o menos dinámico, llevando a la práctica las aplicaciones educativas que con mayor facilidad puedan ser utilizadas por los alumnos y alumnas, de tal forma que estos puedan adaptar tanto unos conocimientos teóricos como prácticos, desarrollando sobre todo los aspectos heurísticos, creativos y lógicos de los temas, especialmente centrados en la resolución de problemas, siendo éste uno de los procesos más indicativos sobre la calidad y excelencia del conocimiento matemático, uno de los factores fundamentales del conocimiento matemático y uno de los factores fundamentales para dar sentido a dicho conocimiento y enmarcarlo en el mundo real. En resumen, entender la modelización como un proceso dinámico que nos ayude a entender y resolver ciertos problemas o situaciones.
Pretendemos que el alumnado sea capaz de:
- comprender y resolver problemas matemáticos planificando su resolución en función de los instrumentos disponibles.
- utilizar las aplicaciones informáticas para obtener soluciones y realizar simulaciones numéricas.
- elaborar y desarrollar razonamientos matemáticos que le permitan abstraer propiedades esenciales de distintos objetos matemáticos y aplicarlos en otro contexto.
- utilizar con soltura los instrumentos de búsqueda de recursos bibliográficos.
- utilizar la lógica y la coherencia en el desarrollo de los procesos matemáticas.
- considerar la manipulación de recursos matemáticos como la situación previa a la formalización de las ideas
- desarrollar la creatividad previa al trabajo de los métodos matemáticos.
- fomentar la colaboración y el trabajo en equipo.
Para potenciar la heurística hemos utilizado instrumentos manipulativos que permiten el descubrimiento y la obtención de conocimientos, propiciando que el trabajo se haya realizado con una dinámica investigativa que propicie, a partir del trabajo individual, el trabajo en equipo.
Se han desarrollado 8 sesiones en las que se han establecido tres bloques: utilización de Geogebra y su aplicación a la resolución de problemas, desarrollo de «investigaciones matemáticas» y percepción espacial como elemento esencial para el desarrollo de la abstracción.
Las sesiones 1ª y 2ª se han utilizado para el conocimiento del programa Geogebra mediante la utilización de los diferentes comandos y herramientas, plateando pequeñas investigaciones, en las que se ha limitado el uso de determinadas herramientas, que han permitido el descubrimiento y explicitación mediante el uso correcto del lenguaje matemático de las propiedades de determinadas figuras.
A modo de ejemplificación mostramos algunas de las actividades realizadas
Sesión 1: Introducción a Geogebra
- Construcción de figuras planas elementales a partir de las diferentes opciones que se presentan en la barra de herramientas (segmento, diferentes polígonos regulares-irregulares, circunferencia, …).
- Sin utilizar las herramienta «polígono regular», dibuja un cuadrado. Verifica utilizando las diferentes opciones que es realmente un cuadrado.
Sesión 2: Trabajamos en equipo.
Utilizando Geogebra, dibujamos las figuras siguientes
- «Dibújame»
- Estoy formado por tres figuras planas.
- La figura central tiene solamente un eje se simetría vertical.
- La figura superior e inferior «no tiene» lados, pero tiene muchos ejes de simetría.
- Mi figura superior es más pequeña mientras que las otras dos figuras tiene la misma anchura.
- «Dibújame: soy una figura de dos dimensiones»
- Estoy formado por cuatro figuras, 3 cuadriláteros y 1 triángulo.
- Mis dos figuras inferiores tienen 4 ángulos rectos, pero mis figuras superiores no tiene ángulos rectos.
- Todos mis cuadriláteros tienen sus lados paralelos 2 a 2 y uno de ellos tiene cuatro lados iguales.
- Mis dos formas superiores encajan en las dos inferiores para formar un hexágono irregular.
- Dibújame 2:
- Una de mis figuras está sobre la otra.
- Estoy formada por dos figuras que son iguales.
- Tengo seis puntas y me encuentro en una bandera.
- Tengo un hexágono en mi centro.
Las sesiones 3ª y 4ª se han dedicado al desarrollo de pequeñas investigaciones
Sesión 3: «Investigando en matemáticas».
Dado que todos los alumnos participantes pertenecen a un centro bilingüe se ha planteado una primera actividad para propiciar el debate, así como el uso correcto del lenguaje matemático. En ella debieron descubrir un mensaje secreto a través de las medidas de los ángulos de un triángulo y la suma de estos.
- «Hidden Message»
This game is based upon the geometry of the triangle and the line. It only requires knowledge of the sum of angles in a triangle and adjacent angles on a line and the words exterior, isosceles and equilateral. Italso reinforces the ability to translate a sentence into a diagram.
- «Un teorema sobre los cuadriláteros»
(Podemos decir que un teorema es una afirmación que podemos comprobar)
Une los puntos medios de los lados de los siguientes cuadriláteros. Recuerda que para localizar los puntos medios de los lados debes trazar la mediatriz (no olvides utilizar las opciones adecuadas de la barra de herramientas) de cada uno de ellos.
Como podrás observar es un polígono. ¿Qué polígono obtienes? ¿Cómo puedes estar seguro de lo que estás afirmando?
A continuación en cada uno de los lados de los nuevos polígonos que has obtenido y señala el punto medio de cada uno de los lados. ¿Cómo es el polígono que has obtenido? Calcula el perímetro y el área de cada uno de los polígonos.
Justifica tu respuesta.
Sesión 4: «Investigando en matemáticas».
- Puntos notables de un triángulo:
- Dibuja un triángulo, traza sus alturas. ¿Qué observas?
- A continuación dibuja un nuevo triángulo y traza las mediatrices de sus lados. ¿Qué observas?
- En un triángulo dibuja las bisectrices de cada uno de sus ángulos. ¿Qué observas?
- Dibuja un triángulo y traza las mediana. ¿Qué observas?
- Modifica cada una de estas figuras moviendo algunos de sus vértices. ¿Qué observas?.
- Investigando sobre tiángulos:
Sobre un nuevo triángulo dibuja sus alturas, medianas y mediatrices. A continuación traza una recta que pase por dos de esos puntos.
¿Qué observas?. Mueve alguno de los vértices e indica que ocurre.
Justifica tus respuestas.
La sesión 5ª y 6ª se dedican al conocimiento y uso de las herramientas y comandos relacionados con los movimientos en el plano. Tras partir de un pequeños comentario sobre Escher y sus mosaicos, se les pide al alumnado que busquen en la web información sobre Escher y la construcción de mosaicos
Sesión 5ª: «Movimientos en el plano».
- Dibuja un triángulo y construye su simétrico respecto a un eje, punto.
- Dibuja un nuevo triángulo y utiliza las herramientas de rotación y traslación.
Una vez que los alumnos han alcanzado un manejo amplio de las herramientas relacionadas con los movimientos en el plano, investigamos que polígonos regulares son capaces de «compactar el plano»
- Utilizando diferentes polígonos regulares, intenta «compactar» el plano.
- ¿Cuáles son las condiciones necesarias para que un polígono pueda compactar el plano? Justifica tu respuesta, te puede ayudar medir sus ángulos.
- Intenta comprobar si ocurre lo mismo con cualquier polígono.
- Teselaciones».
Dibuja un cuadrilátero.
Mide sus ángulos.
Con el cuadrilátero se pueden hacer teselaciones interesantes. Se presentan algunas figuras hechas con cuatro de esos cuadriláteros. y se les pide que realicen algunas teselaciones con ellas. A continuación se pide a los alumnos que creen otras teselaciones con el cuadrilátero, para finalizar con teselaciones hechas con polígonos idénticos de diferente número de lados.
Sesión 6ª: Percepción espacial.
Esta sexta sesión se consideró que debíamos plantear situaciones diferentes en las que a partir de la manipulación física, a diferencia de las anteriores en la que la manipulación de objetos fue virtual, en las que se pudiese propiciar la abstracción de propiedades de los cuerpos, para ello decidimos utilizar el cubo «Soma». El cubo Soma es un rompecabezas formado por siete piezas y se les pide que utilizando las piezas del SOMA, construyan algunas figuras de las que se les suministra una imagen. A continuación y tras suministrar una trama cuadrada se les piden que dibujen varias vistas de las citadas piezas, para finalizar dibujando cada una de las piezas sobre una trama isométrica.
Para ayudar en la representación de las diferentes piezas, se les recomendó visitar la página http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=125
Las sesiones 7ª y 8ª se dedicaron a la aplicación a la resolución de problemas y la construcción modelos matemáticos que nos permitiesen dar respuesta a situaciones mas o menos reales.
Sesión 7ª y 8ª: Construcción de modelos
Al alumnado se le plantean una serie de problemas entre ellos uno propuesto en una de las Olimpiadas matemáticas celebradas en Andalucía y se les pide que lo resuelvan creando un modelo mediante el uso de Geogebra.
Tras la entrega de un plano en el que aparecen varias referencias (coordenadas) de diferentes puntos y tras pedirla localización de estos puntos se les pide la localización de un pun punto que se encuentra equidistante de dos de ellos tras conocer solamente una de las cotas de la coordenada.
Para finalizar estas dos sesiones se le entrega un mapa cartográfico y se trabaja el conocimiento de los diferentes puntos de mapa, curvas de nivel, símbolos y se les pide que conociendo la escala levante lo que podía ser el perfil de una ruta ya señalada.
Por último se dedican unos diez minutos finales a la realización de una pequeña encuesta en la que los alumnos puedan mostrar su opinión sobre el desarrollo del programa.
Consideramos que en el alumnado se ha logrado despertar el interés por el uso de un programa como geogebra que facilita un mayor conocimiento y permite una mayor comprensión de aquellos aspectos del currículum que muchas veces nos quedan relegados.
Créditos: imagen de Monica Di Blasio.
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