Modelización en Matemáticas I
Datos del Proyecto
Descripción de la Experiencia
Como establecimos en el proyecto Profundiza del IES Huelin de Málaga, tratamos de profundizar en la modelización de situaciones, presentando al mismo tiempo los procesos heurísticos y deductivos (demostración) que llevan a esa modelización. Para potenciar la heurística echamos mano de instrumentos donde la manipulación sea elemento fundamental para el descubrimiento y la obtención de conocimientos, siguiendo el proceso desde las conjeturas hasta las demostraciones. Desde el punto de vista personal, tratamos de que el trabajo se realice con una dinámica investigativa de manera que el trabajo individual se mezcle con el trabajo en equipo, para que la Ciencia se aprecie como trabajo colectivo. Finalmente, el trabajo de programación en SCRATCH, pretendemos que sea visto como un proceso de modelización mediante la programación realizada con herramientas informáticas. Se ha desarrollado un total de 8 sesiones de trabajo, siguiendo el orden de un planteamiento inicial de la situación, trabajo individual o colectivo según los temas, puesta de trabajo en común, y finalmente situaciones que quedan abiertas para la investigación.
La 1ª sesión se dedicó a precisar los conceptos de conjetura y demostración, usando la diferencia entre la demostración euclídea de «Los números primos son infinitos» y la conjetura de Fermat, finalmente convertida en teorema. Partimos de la construcción de pentaminós y hexaminós (figuras formadas pegando 5 ó 6 cuadrados por uno de sus lados) para estudiar cuántos es posible construir. Ello nos llevó por un lado a «conjeturar» la cantidad posible y finalmente a «demostrar» las conjeturas establecidas. El uso de recurrencias para esas demostraciones es importante, apareciendo así un concepto que para muchos es novedoso. El establecimiento de criterios que permitan definir la equivalencia de dos figuras ayudan a ver aquéllos como respondiendo a necesidades reales, establecidas por nosotros y no aparecidas desde «arriba». Usamos hojas con cuadrículas para manipular los elementos. Una vez establecidos los resultados definitivos, quedó abierto para la investigación qué sucede cuando las hojas no tienen cuadrículas sino que son tramas triangulares o hexagonales.
La 2ª sesión estuvo dedicada a las transformaciones geométricas que conservan el área. Partiendo de motivaciones históricas, (que se investigaron en Internet, sobre la reconstrucción de parcelas, tras las crecidas del Nilo en el antiguo Egipto), aparece la necesidad de transformar figuras poligonales en otras de forma prefijada, pero con la misma área. Se investigó en primer lugar sobre las transformaciones más simples, con la cadena: triángulo en paralelogramo, paralelogramo en rectángulo, rectángulo en cuadrado. Llegando finalmente a una transformación más general para convertir un polígono de n lados en otro equivalente con n-1 lados. Estableciendo así la forma de llegar a triángulos, y finalmente a cuadrados. En todos estos procesos las demostraciones de los teoremas correspondientes han sido parte fundamental de la certidumbre de que ello podía hacerse. Finalmente, la suma ( o la diferencia) de dos cuadrados de distinta área, nos permitió tener una perspectiva del teorema de Pitágoras que permite resolver el problema. La vida de Pitágoras fue un aliciente más para entender el trabajo geométrico de las civilizaciones antiguas, y la vida asociativa de las comunidades científicas de la Antigüedad, a veces ligada a sectas.
La 3ª sesión estuvo dedicada al descubrimiento de resultados de sumas de naturales y de sumas infinitas de números menores que 1, con herramientas manipulables, partiendo de conocidas situaciones de leyenda, como la obtención de granos de trigo por el inventor del juego del ajedrez. En primer lugar se obtuvo la suma de 1 + 2 + … + n, usando una «escalera» y realizando una copia de ella, que encaje volteándola, hasta formar un rectángulo, para obtener la conocida fórmula n(n+1)/2. Para pasar después a la suma de los cubos de los n primeros números, «desplazando» en una hoja cuadriculada los sucesivos «pisos» de cada uno de los cubos hasta obtener la fórmula (1+2+…+n) elevado al cuadrado, puesto que se rellena así un cuadrado de lado (1+2+…+n). También usamos hojas de papel para obtener sumas de progresiones infinitas de razón menor que 1, tomando por ejemplo, sobre un cuadrado, 1/2 (la mitad del cuadrado), 1/4 (la mitad de la mitad), 1/8 (la mitad de lo que queda) …. para conjeturar que la suma total sería la unidad. También usamos el mismo método para obtener a partir de un triángulo equilátero la suma de la progresión infinita de razón 1/3 y otras similares. Finalmente se vio la forma algebraica de obtención de estos mismos resultados.
La 4ª y 5ª sesiones se dedicaron a la programación con SCRATCH, como una forma de modelizar con herramientas informáticas. Como los alumnos están ya familiarizados con el uso de la plataforma Moodle, no se usó mucho tiempo en el uso de ella sino de los conceptos y formas básicas del Scratch, dándose de alta como usuarios y pasando a la utilización de los algoritmos para la resolución de problemas, así como los módulos de movimiento y el editor de pintura, aprendiendo a guardar proyectos y a compartir los trabajos con los otros usuarios. Se trabajó con escenarios y disfraces, y se utilizaron las tareas repetitivas que aportan los bucles. Algunos de ellos se aplicaron a los problemas de tipo recursivo que se habían propuesto en algunas de las anteriores sesiones. En sucesivas sesiones se fueron trabajando algunos problemas con el SCRATCH. Créditos: fotografía de Septem Trionis.
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