Las matemáticas que podrías conocer en la ESO y que (casi) nadie te contará
Datos del Proyecto
Descripción de la Experiencia
Existen ciertos conceptos matemáticos que aunque están al alcance de cualquier alumno o alumna de 3º o 4º de ESO, no se suelen tratar en los institutos, bien sea porque quedan claramente fuera del curriculo, porque se vean como conocimientos demasiado avanzados para una enseñanza obligatoria, o porque dejarían fuera a una parte importante de los alumnos y alumnas menos interesados en las matemáticas.
Conocedor de este hecho, decidí proponer para el programa Andalucía Profundiza el curso llamado «Curiosidades matemáticas para alumnado de ESO», en el que intentaría hacer llegar al alumnado con más gusto por las matemáticas una serie de conceptos que pueden entender sin más arsenal matemático que el que poseen en 3º o 4º de ESO, y que probablemente no verán en el instituto ni en algunas carreras técnicas, pero que forman parte del «equipaje» de un buen matemático.
Dada la distribución horaria del curso, con 8 sesiones de 3 horas cada una, la metodología tendría que ser muy dinámica, de forma que los alumnos fueran interviniendo de forma activa en la construcción de los conocimientos y que no fuera la típica lección magistral. Así pues, decidí suministrarles cada sesión unas fichas (que se pueden descargar en el enlace suministrado al principio) en las que aparecían los contenidos teóricos mínimos con ejemplos, y espacios en blanco con actividades que tendrían que realizar en clase para ir completando los conocimientos del tema tratado. Todo ello aderezado con hojas de cálculo, applets de internet y videos explicativos.
A continuación paso a explicar el contenido de cada una de las sesiones.
1ª SESIÓN: INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Comenzamos viendo la conocida anécdota que protagonizó el joven Gauss cuando sumó en un instante los números del 1 al 100 como respuesta al ejercicio propuesto en clase por un enfadado profesor. Una vez obtenida la expresión general que nos permite hacer este tipo de sumas, vemos, con un ejemplo de Euler, que aunque una expresión se verifique para muchos números naturales, eso no quiere decir que se verifique para todos.
Seguidamente presentamos el resultado conocido como Principio de Inducción y lo aplicamos a demostrar la validez de algunas fórmulas, conocidas previamente en algunos casos y desconocidas inicialmente en otros. La demostración del principio de inducción se presenta en un apéndice sólo para aquellos alumnos que quieran profundizar en este tema.
2ª SESIÓN: NÚMEROS PRIMOS
Se empieza con las conocidas definiciones de números primos y compuestos y algunas propiedades básicas de los números compuestos. Para tener una primera idea de que números son primos usamos la Criba de Eratóstenes para obtener todos los números primos menores o iguales que 100. A continuación vemos los Primos de Mersenne, que se utilizan para obtener los mayores números primos conocidos y vemos en internet cuál es el mayor primo conocido hasta el momento.
Continuamos con una actividad en la que los alumnos y alumnas representan la función contador de números primos para a continuación ver el enunciado del Teorema de los Números Primos, que se ilustra con unas gráficas y unos cálculos realizados por internet. El tema concluye con tres importantísimos conceptos relacionados con los números primos: el Teorema de Euclides, la Conjetura de Goldbach y el Pequeño Teorema de Fermat.
3ª SESIÓN: NÚMEROS IRRACIONALES
Después de definir el concepto de número racional vemos que existen tantos racionales como naturales (argumento de Cantor) y vemos que existen números no racionales (irracionales) demostrando que la raíz cuadrada de 2 no es racional.
Tras ver que los números irracionales «son más» que los naturales, pasamos a ver como diferenciar entre racionales e irracionales a partir de fracciones continuadas. Tras un pequeño apartado en el que se tratan los números algebraicos y los trascendentes, pasamos a dedicarle la última parte del tema a los números irracionales más conocidos: el número áureo, el número e y el número pi.
4ª SESIÓN: FRACTALES
El tema comienza con una definición informal de fractal que se ilustra con los ejemplos del Conjunto de Cantor, el Copo de Nieve de Koch, la Alfombra de Sierpinski y la Curva de Hilbert.
El siguiente concepto tratado es el de la dimensión fractal, que se ilustra con ejemplos y actividades para el alumnado. El tema acaba viendo la creación de fractales con sistemas de funciones iteradas.
5ª SESIÓN: ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Y PITAGÓRICAS
Tras un pequeño recordatorio de las ecuaciones de primer y segundo grado, se pasa a desarrollar un método general para obtener las soluciones de la ecuación de tercer grado basado en la Transformación de Tschirnhaus y la Fórmula de Tartaglia-Cardano. Esta parte del tema acaba con el enunciado del Teorema de la Imposibilidad de Abel, por el cual no es posible, en general, obtener una fórmula cerrada para las ecuaciones de grado superior a cuatro.
La segunda parte del tema se dedica a la solución de ecuaciones pitagóricas. Se definen las ternas pitagóricas fundamentales y se ven distintas propiedades relacionadas con ellas y un método general para hallar todas las ternas fundamentales dado uno de sus componentes. El tema concluye con una pequeña explicación del Último Teorema de Fermat y con la proyección de un video relacionado.
6ª SESIÓN: BINOMIO DE NEWTON
Antes de entrar de lleno con la obtención del Binomio de Newton, es necesario recordar algunos conceptos como el cuadrado y el cubo de un binomio y el factorial de un número. A continuación se tratan los coeficientes binomiales o números combinatorios explorando sus propiedades. Como consecuencia de estas propiedades se ve como pueden obtenerse los coeficientes binomiales a través del Triángulo de Pascal.
El tema acaba presentando el Teorema del Binomio de Newton, que los propios alumnos y alumnas demuestran aplicando sus conocimientos del Principio de Inducción. El teorema se aplica a un ejemplo de cálculo directo y a la obtención del número de subconjuntos de un conjunto finito.
7ª SESIÓN: GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
Se comienza viendo el concepto de mediatriz y como las mediatrices de un triángulo se cortan en el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita. A continuación se definen las bisectrices que en un triángulo determinan el incentro o centro de la circunferencia inscrita.
De la misma forma se trabaja con las medianas que dan lugar al baricentro y con las alturas que dan lugar al ortocentro. El tema acaba con la Recta de Euler, que pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de cualquier triángulo.
8ª SESIÓN: CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES
El tema comienza con el concepto de construcciones con regla y compás y los conocidos como Problemas Délicos: la Cuadratura del Círculo, la Duplicación del Cubo y la Trisección del Ángulo, todos ellos sin solución.
La segunda parte del tema consiste en ver que polígonos regulares son construibles exactamente con regla y compás. Tras demostrar que las construcciones del triángulo, cuadrado, pentágono y hexágono son exactas vemos que la construcción del heptágono es sólo aproximada. El tema finaliza con el enunciado y puesta en práctica del Teorema de Gauss-Wantzel que da una condición necesaria y suficiente para la constructibilidad de un polígono regular y que está relacionada con los Primos de Fermat.
Imagen de Gerd Altmann en Pixabay
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